49. Calcule.

b) lim x → + ∞ ⁡ 5 - 4 x + x 2 - x 5

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular o limite lim x → + ∞ ⁡ 5 - 4 x + x 2 - x 5 .

Quando temos a variável do limite tendendo a infinito, o que queremos é deixar o limite ou com a carinha de

lim x → ∞ ⁡ x n = ∞

Que vai dar infinito, ou queremos algo como

lim x → ∞ ⁡ c x n = 0

Nesse último temos c que é uma constante, mas qualquer constante dividida por números muuuuuuuuuuito grandes, porque x está tendendo ao infinito, vai tender a zero.

Se, quando substituirmos o x encontramos algo como " ∞ - ∞ " , chamamos isso de indeterminação e isso não pode. Nesse caso precisaremos achar uma forma de sumir com a indeterminação.

Bora pro exercício...

Passo 2

Repara que quando substituímos o x chegamos na indeterminação infinito menos infinito, então precisamos tirar essa indeterminação.

Vamos tentar colocar o x com maior expoente em evidência:

lim x → + ∞ ⁡ 5 - 4 x + x 2 - x 5 = lim x → + ∞ ⁡ x 5 5 x 5 - 4 x x 5 + x 2 x 5 - 1

E agora vamos usar a propriedade que diz que o limite da multiplicação é a multiplicação dos limites:

lim x → + ∞ ⁡ x 5 5 x 5 - 4 x x 5 + x 2 x 5 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 5 lim x → + ∞ ⁡ 5 x 5 - 4 x x 5 + x 2 x 5 - 1

Para o primeiro limite, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x 5 = + ∞

Para o segundo:

lim x → + ∞ ⁡ 5 x 5 - 4 x 4 + 1 x 3 - 1 = - 1

Então:

lim x → + ∞ ⁡ x 5 lim x → + ∞ ⁡ 5 x 5 - 4 x x 5 + x 2 x 5 - 1 = + ∞ ⋅ - 1

= - ∞

Resposta

- ∞

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