Passo 1

Bom, o enunciado dá a expressão da derivada e pede a f . Então precisamos integrar aquela derivada. Relaxa, que daqui a pouco a gente vai usar o ponto que ele deu.

f ' x = x 1 - x 2

Integrando ambos os lados com respeito a x :

f x = ∫ x 1 - x 2 d x

Passo 2

Vamos utilizar o método da substituição para resolver essa integral:

u = 1 - x 2 → d u = - 2 x d x

Passo 3

Substituindo na integral:

∫ x 1 - x 2 d x = - 1 2 ∫ u d u

Passo 4

Resolvendo a integral:

- 1 2 ∫ u 1 2 d u = - 1 2 u 3 2 3 2 + C = - u 3 2 3 + C

Passo 5

Lembrando de algo MUITO IMPORTANTE! u foi uma variável que você criou, então precisamos voltar para a variável do problema, ok?

u = 1 - x 2

- u 3 2 3 + C = - 1 - x 2 3 2 3 + C = - 1 - x 2 3 3 + C

Prontinho! Agora tá certinho. 😊

Passo 6

O que encontramos até agora foi uma família de funções que tem a derivada igual àquela dada no enunciado.

Finalmente, vamos usar aquela informação do ponto ( 0 , 8 3 ) pertencer à função para descobrirmos o valor da constante C .

f 0 = 8 3

f x = - 1 - x 2 3 3 + C

f 0 = 3 8 → - 1 3 + C = 8 3 → C = 3

Então a função procurada é:

f x = - 1 - x 2 3 3 + 3

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x