Passo 1

Precisamos determinar

∫ x 1 + x   d x

Para isso podemos utilizar a substituição

u = 1 + x

d u = d x

Passo 2

Usando a substituição ficaremos com

∫ x 1 + x   d x = ∫ ( u - 1 ) u   d u

Que podemos separar em

∫ ( u - 1 ) u   d u = ∫ u u   d u - ∫ u   d u

= ∫ u 3 2   d u - ∫ u 1 / 2 d u

Passo 3

Resolvendo as integrais ficamos com

∫ ( u - 1 ) u   d u = 2 5 u 5 2   - 2 3 u 3 2 + C

Desfazendo a substituição

u = 1 + x

∫ x 1 + x   d x = 2 5 ( x + 1 ) 5 2   - 2 3 ( x + 1 ) 3 2 + C

Prontinho! Resolvida a nossa integral.

Resposta

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