2a) Calcule as seguintes integrais

∫ 1 e cos ⁡ π ln ⁡ x x d x

Passo 1

Bora lá. Pra resolver essa integral, vamos olhar no fundo dos olhos dela, porque mesmo parecendo meio doida e complicada, dá pra gente tirar de letra se lembrarmos que:

ln ⁡ x ' = 1 x

Opa, perai! A derivada do ln ⁡ x , que ta dentro da integral, também aparece dentro da integral? Isso mesmo! Se você olhar assim fica mais claro:

∫ 1 e cos ⁡ π ln ⁡ x x d x = ∫ 1 e cos ⁡ π ln ⁡ x ∙ 1 x d x

Bem, já que é assim, talvez seja uma boa ideia fazer essa substituição simples. Vamos incluir o π dentro da nossa escolha pra poder chamar todo o interior do cosseno de uma coisa só, belê? Vamos ter:

u = π ln ⁡ x

d u d x = π x

1 π d u = 1 x d x

E sendo assim, nossa integral fica:

∫ cos ⁡ π ln ⁡ x ∙ 1 x d x = ∫ cos ⁡ u ∙ 1 π d u = 1 π ∫ cos ⁡ u d u = 1 π sin ⁡ u

E voltando pra variável original:

∫ cos ⁡ π ln ⁡ x x = sin ⁡ π ln ⁡ x π

Passo 2

Só falta uma coisinha pra gente fechar com chave de ouro: aplicar os limites de integração! O resultado anterior então:

∫ cos ⁡ π ln ⁡ x x = sin ⁡ π ln ⁡ x π

Vai virar isso:

∫ 1 e cos ⁡ π ln ⁡ x x d x = sin ⁡ π ln ⁡ x π x = 1 x = e

Calculamos:

∫ 1 e cos ⁡ π ln ⁡ x x d x = sin ⁡ π ln ⁡ e π - sin ⁡ π ln ⁡ 1 π

∫ 1 e cos ⁡ π ln ⁡ x x d x = sin ⁡ π ln ⁡ e 1 2 π = sin ⁡ π ∙ 1 2 ∙ ln ⁡ e π = sin ⁡ π ∙ 1 2 ∙ 1 π

∫ 1 e cos ⁡ π ln ⁡ x x d x = sin ⁡ π 2 π = 1 π

Fechou então!

Resposta

∫ 1 e cos ⁡ π ln ⁡ x x d x = 1 π

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x