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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

4c) Calcule as seguintes primitivas/integrais definidas:

∫ π 2 4 π 2 sin ⁡ t t d t

Passo 1

Olha só que integral feinha, tem raiz dentro de trigonométrica. Difícil trabalhar assim né? O que você acha então de tirarmos o mal pela raiz ?

Fazendo então uma substituição simples:

u = t

Vamos ter:

d u d t = 1 2 t = 1 2 u

d t d u = 2 u

d t = 2 u   d u

E mudando os limites de integração também, ficamos com:

u = t →   t = π 2 → u = π 2 = π t = π 2 4 → u = π 2 4 = π 2

A integral vai ficar:

∫ π 2 4 π 2 sin ⁡ t t d t = ∫ π 2 π sin ⁡ u u 2 u   d u = ∫ π 2 π 2   sin ⁡ u d u

Passo 2

Acabou que paramos com uma integral bem mais simples, né não? Vamos resolver

∫ π 2 π 2   sin ⁡ u d u

Isso vai dar:

∫ π 2 π 2   sin ⁡ u d u = - 2 cos ⁡ u u = π 2 u = π

∫ π 2 π 2   sin ⁡ u d u = - 2 cos ⁡ π - - 2 cos ⁡ π 2

∫ π 2 π 2   sin ⁡ u d u = - 2 ∙ - 1 - - 2 ∙ 0

∫ π 2 π 2   sin ⁡ u d u = 2

Resposta

∫ π 2 4 π 2 sin ⁡ t t d t = 2

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x