UNICAMP – Sem campus – Cálculo I – P3 – 2022.1 6º Diurno – 4
Avalie a convergência da integral imprópria
Passo 1
Fala aí turminha, tudo bem? Vamos pra cima dessa questão! Primeira coisa que a gente tem que entender pra resolver ela é sobre a função que a gente tá integrando. Ela é descontínua em e contínua em . Por isso que ela é imprória: nos limites de integração, a função apresenta descontinuidade.
Passo 2
E pra esses casos de integral imprópria a gente sempre recorre pra definição, ela vai dar pra gente um caminho pra gente resolver. Você lembra o que a definição significa? Olha o que a definição diz:
Tal que representa um ponto de descontinuidade. Temos então:
Aplicando pra nossa questão:
Passo 3
Show, agora vamos resolver a integral; Para a integral:
Vamos resolver por substituição. Você sabe como funciona esse método? Relaxa que eu te mostro. Esse método consiste na gente adotar outras variáveis pra integral, de forma que fique mais fácil de resolver. Depois de resolver, a gente desfaz essa troca de variáveis e encontramos a resposta. Se liga: Vamos definir como:
Logicamente, calculando iremos derivar nosso .
Logo nossa integral fica com a cara:
Resolvendo ela, temos:
Passo 4
Agora vamos aplicar o limite e encontraremos a resposta! Para:
Aplicando , temos:
Logo o valor da nossa integral é 2. Sobre a convergência, temos que a integral também é convergente pois o valor do limite existe e é um número real. E é isso, curtiu a questão? Sobrou alguma dúvida? Manda um feedback pra gente! Te aguardo na próxima questão e bons estudos!