UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 1 – Alternativa m)
Calcule:
Passo 1
Mais uma! Bora lá!!
Para essa integral vamos utilizar uma relação trigonométrica que irá permitir que apliquemos uma substituição simples em nosso integrando, de forma a obter algumas integrais identificáveis em termos de primitivas! Sigam-me os bons!
Passo 2
É interessante para começar reescrever um pouco o nosso integrando, para isso vamos colocar algumas coisas em evidência dentro da raiz! Da seguinte maneira:
Agora é possível identificar uma substituição trigonométrica conveniente para a nossa resolução! Vamos fazer isso!
Passo 3
O caso que temos aqui é do tipo:
Com . Ou seja, é conveniente fazer uma substituição da forma:
Sendo assim, nosso integrando pode ser escrito como:
Evidenciando algumas coisinhas e simplificando algumas outras, temos que:
Vamos utilizar algumas relações trigonométricas agora! Belezinha?
Passo 4
Nós temos que:
Portanto, meu integrando é tal que:
Só precisamos reescrever esse integrando mais um pouquinho! Vem comigo!
Passo 5
Vamos usar a primeira igualdade da equação (1), olha o que obtemos:
Expandindo o produto, obtemos duas integrais da seguinte forma:
Para resolver estas integrais vamos precisar usar uma fórmula de redução para a secante! Saca só!
Passo 6
Temos que utilizar a seguinte fórmula:
De forma que temos:
O que nos permite escrever:
Vamos ter que aplicar a fórmula de redução novamente! Bora lá!
Passo 7
Temos então que:
De forma que:
Você lembra qual a primitiva de uma função ? É possível demonstrar utilizando algumas identidades trigonométricas! Mas, para este exercício vamos focar em obter o resultado de nossa integral original! Vamos lá!
Passo 8
A primitiva é tal que:
De forma que a nossa solução toma a forma:
Agora só falta voltar para as coordenadas originais! Saca só!
Passo 9
Nós definimos que e, portanto:
De forma que em um triângulo retângulo, temos que e . Para encontramos quem é , precisamos do cateto oposto, que pode ser obtido utilizando Pitágoras! Da seguinte forma:
Temos então:
E a nossa solução final é a seguinte:
Simplificando as frações, temos:
Uff... essa alternativa acabou! Bora para a próxima!!! Até já!