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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Lista de Revisão de Integral, Questão 3i

Calcule:

i)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos o resultado da integral ∫ 1 + x 1 + x 2   d x .

Pela regra da soma, podemos expandir ela da seguinte forma:

∫ 1 + x 1 + x 2   d x = ∫ 1 1 + x 2   d x + ∫ x 1 + x 2   d x

Agora vamos resolver cada integral e depois substituir!!

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... Na primeira integral, temos:

∫ 1 1 + x 2   d x ∴

Essa integral é tabelada e é dada por:

∫ 1 1 + x 2   d x = a r c t g   x + c

Passo 3

Já para a segunda integral, temos:

∫ x 1 + x 2   d x

Para podermos resolver isso, podemos utilizar o método da substituição, onde u = 1 + x 2 e, portanto, d u = 2 x   d x .

∫ x u   d x 1 2 x     ∴

1 2 ∫ 1 u   d x     ∴

1 2 ln ⁡ u + c ∴

= 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + c

Passo 4

Dessa forma, aplicando na equação do Passo 1, temos:

∫ 1 + x 1 + x 2   d x = ∫ 1 1 + x 2   d x + ∫ x 1 + x 2   d x ∴

∫ 1 + x 1 + x 2   d x = a r c t g   x + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + c

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

a r c t g   x + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + c

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x