3 – Calcule:

m) ∫ x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Aqui, queremos calcular a integral de f x = x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 .

Parece que vai dar um pouco de trabalho, não é? 👀

Nesse problema, podemos usar o método da substituição para resolver o problema, que tal?

O método da substituição consiste em substituir parte da função de integração por uma variável e ao fazer a adaptação da integral, podemos simplificar nossos cálculos.

Bora ver como é! 😉

Passo 2

Se chamarmos x 3 + 3 x de u , temos que

d u d x = d x 3 + 3 x d x

Pelo método de derivação polinomial...

d u d x = 3 x 2 + 3

Isolando d x , temos

d x = d u 3 x 2 + 3

Assim, substituindo d x e x 3 + 3 x na integral...

∫ x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 d x → ∫ x 2 + 1 u 4 d u 3 x 2 + 3

∫ x 2 + 1 3 x 2 + 3 u 4 d u

Colocando 3 em evidência em 3 x 2 + 3 , temos

∫ x 2 + 1 3 x 2 + 1 u 4 d u

∫ 1 3 u 4 d u

Pelo método de integração polinomial, vamos obter

∫ 1 3 u 4 d u = 1 3 u 4 + 1 4 + 1

∫ 1 3 u 4 d u = 1 3 u 5 5

∫ 1 3 u 4 d u = u 5 1 5

Voltando u para x , temos que

∫ x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 d x = x 3 + 3 x 5 15 + C

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 d x = x 3 + 3 x 5 15 + C

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