Calcule:

d   ∫ arcsen ⁡ x 1 - x 2 d x

Passo 1

O barato dessa questão é que ela parece que vai dar muito trabalho, mas tendo a sacada certa ela sai muito rapidamente. O detalhe dela é lembrar que a derivada do arco seno é essa aqui:

arcsen ⁡ x ' = 1 1 - x 2

Aí eu posso fazer uma substituição que acaba com todo o problema da integral:

u = arcsen ⁡ ( x ) ; d u = d x 1 - x 2

∫ arcsen ⁡ x 1 - x 2 d x = ∫ u   d u

Maravilha, né? Agora é só fazer.

∫ u   d u = u 2 2

arcsen ⁡ x 2 2 + C

Resposta

∫ arcsen ⁡ x 1 - x 2 d x = arcsen ⁡ x 2 2 + C

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