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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 3 de Exercícios, Questão 4b

Calcule ∫ - 1 2 f x d x , para cada uma das funções abaixo:

b)

f x = 3 x 2 - 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral:

∫ - 1 2 3 x 2 - 3 d x

Mas antes, temos que analisar esse módulo de f x , o qual pode ser entendido da seguinte forma:

  • Para 3 x 2 - 3 < 0 :

    • 3 x 2 - 3 < 0 ∴

    3 x 2 < 3 ∴

    x < 1

  • Para 3 x 2 - 3 ≥ 0 :

3 x 2 - 3 ≥ 0 ∴

3 x 2 ≥ 3 ∴

x ≥ 1

Portanto, aplicando em f ( x ) :

f x = - 3 x 2 - 3 ,     x < 1 3 x 2 - 3 ,     x ≥ 1

Dessa forma, teremos duas integrais dadas da seguinte forma:

∫ - 1 2 3 x 2 - 3 d x = - ∫ - 1 1 3 x 2 - 3 d x + ∫ 1 2 3 x 2 - 3 d x

E aí? Bora lá resolver elas??!!

😉

Passo 2

Assim, resolvendo a primeira integral, temos:

- ∫ - 1 1 3 x 2 - 3 d x ∴

= - 3 x 3 3 - 3 x 1 - 1 ∴

= - x 3 - 3 x 1 - 1 ∴

= 4

E, resolvendo a segunda integral, temos:

∫ - 1 2 3 x 2 - 3 d x ∴

= 3 x 3 3 - 3 x 2 1 ∴

= x 3 - 3 x 2 1 ∴

= 4

Passo 3

Dessa forma, como acabamos de descobrir os valores das duas integrais, temos:

∫ - 1 2 3 x 2 - 3 d x = - ∫ - 1 1 3 x 2 - 3 d x + ∫ 1 2 3 x 2 - 3 d x

∫ - 1 2 3 x 2 - 3 d x = 4 + 4

∫ - 1 2 3 x 2 - 3 d x = 8

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ - 1 2 3 x 2 - 3 d x = 8

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