5) Calcule cada uma das integrais abaixo.

(b) ∫ x x + 1   d x

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Como o enunciado dessa questão é bem direto e não tem lá muita interpretação de texto, pra resolvermos esse exercício aqui, primeiro precisamos definir que método utilizaremos! Tá, mas como eu faço isso?

Nesse exercício, como temos x multiplicando uma outra expressão contendo x , que está dentro de uma raiz, vemos que é possível utilizarmos o método da integração por substituição u !! E como se usa esse método??

Temos do enunciado que:

∫ x x + 1   d x

Mas vamos reescrever essa expressão como sendo:

∫ x x + 1 1 2   d x         ( I )

Então, vamos definir agora os nossos valores de u e então encontrar sua derivada ( d u )!

Vamos adotar u = x + 1 . Então, vamos ter da mesma maneira que x = u - 1 .

Além disso, a derivada d u   será:

d u = d x

Vamos agora reescrever a nossa integral substituindo os valores acima em ( I ) , obtendo:

∫ u - 1   u 1 2 d u

Aqui nós ainda podemos aplicar as propriedades distributivas e obter uma expressão que seja mais fácil de resolver!

∫ u 3 2 - u 1 2   d u

Olha só que legal!! Aquela expressão meio estranha de divisão que o enunciado deu virou algo bem mais simples!! Uhul!!

Bora lá resolver essa integral então!!

Passo 2

Antes de tudo, vamos ver na nossa integral ali que nós temos a subtração de duas expressões, o que nos permite dividir a integral em duas:

∫ u 3 2   d u - ∫ u 1 2   d u

Vamos agora resolver cada uma das integrais acima separadamente. Resolvendo a primeira temos que:

∫ u 3 2   d u = 2 5   u 5 2

Resolvendo a segunda integral vamos ter que:

∫ u 1 2   d u = 2 3   u 3 2

Juntando esses dois resultados temos que:

2 5   u 5 2 - 2 3   u 3 2

Agora basta substituirmos o valor de u que vamos obter a resposta final pra essa questãozinha aqui!

2 5   x + 1 5 2 - 2 3   x + 1 3 2 + C

Lembrando aqui que C é a nossa constante de integração!!

Conseguimos!!!! Bem tranquilo, não é mesmo?

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

2 5   x + 1 5 2 - 2 3   x + 1 3 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x