UFSC, Joinville, Cálculo II, Provas Profº Rómulo Castillo - P2 2015.2, Questão 1b
Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponta:
b)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral da função e verificar se ela é convergente ou não, quando for o caso (quando a gente se deparar com alguma indeterminação, por exemplo).
Pra resolver essa integral a gente pode tentar fazer uma substituição, chamando . Dessa forma, e teremos:
Repare que temos um polinômio no denominador que tem um grau maior que o polinômio no numerador . Sempre que isso acontecer, podemos pensar em fazer a integração usando o método das frações parciais. O que a gente precisa fazer é fatorar o denominador e encontrar constantes que nos permitam escrever nossa integral de maneira mais simples.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos reescrever nossa integral colocando em evidência no denominador:
Repare que no denominador, temos um termo linear e um termo quadrático irredutível (). Ele é chamado irredutível porque não é possível fatorar ele em termos de fatores lineares. Quando isso acontece, podemos desmembrar nosso integrando em frações parciais na forma:
Observe que o numerador da segunda fração à direita da igualdade é a derivada do denominador da mesma fração. Escrever a fração assim é um truque que facilita as continhas nesses casos.
Então, vamos ter:
Colocando no mesmo denominador:
Vamos agrupar os termos do numerador:
Comparando com a fração original do integrando:
Igualando os coeficientes do numerador, vamos ter:
E por fim,
Encontramos nossas constantes.
Passo 3
Agora podemos reescrever a integral na forma:
Substituindo os valores de , e encontrados:
Separando a soma em duas integrais:
Da primeira integral, temos:
Pra segunda integral vamos precisar fazer outra substituição pra nos ajudar.
Passo 4
Pra resolver vamos primeiro completar o quadrado no denominador:
E agora vamos chamar . Dessa forma,
Substituindo, temos:
Separando a integral da soma em duas integrais:
Dando uma olhadinha na tabela de integrais, vamos obter:
Mas então vamos ter:
Passo 5
Agora podemos juntar nossos resultados:
Mas não podemos esquecer que nossa variável original é , e que nós definimos lá no passo . Então, temos:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉