Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponta:

c) ∫ 0 2 1 2 x - x 2 d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral da função e verificar se ela é convergente ou não, quando for o caso (quando a gente se deparar com alguma indeterminação, por exemplo).

Pra resolver essa integral nós vamos precisar fazer algumas manipulações. Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador para obter:

∫ 0 2 1 2 x - x 2 d x = ∫ 0 2 1 - x - 1 2 + 1 d x

Em seguida, vamos chamar x - 1 = u . Dessa forma, teremos:

x = u + 1

d u = d x

E quando x = 0 , u = - 1 , quando x = 2 , temos u = 1 . Então, nossa integral se transforma em:

∫ - 1 1 1 - u 2 + 1 d u

E aí repare que nós vamos precisar nos livrar dessa raiz no denominador, um método que nos permite fazer isso é a substituição trigonométrica. Como temos uma raiz da forma a 2 - u 2 , a substituição tem a forma u = a cos ⁡ θ . No nosso caso, a = 1 . Assim, teremos:

u = cos ⁡ θ

d u = - sin ⁡ θ   d θ

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Usando a substituição trigonométrica, temos:

∫ - 1 1 1 - cos ⁡ θ 2 + 1 ( - sin ⁡ θ )   d θ

∫ - 1 1 1 - cos 2 ⁡ θ + 1 ( - sin ⁡ θ )   d θ

Pela identidade 1 - cos 2 ⁡ θ = sin 2 ⁡ θ , vamos obter:

∫ - 1 1 - sin ⁡ θ sin 2 ⁡ θ   d θ = - ∫ - 1 1 sin ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

Simplificando:

- ∫ - 1 1 d θ

Resolvendo a integral:

- θ - 1 1

Mas nós definimos u = cos ⁡ θ , então temos θ = arccos ⁡ ( u ) . Dessa forma, nosso resultado será:

- arccos ⁡ ( u ) - 1 1

Aplicando os intervalos de integração:

- arccos ⁡ 1 + arccos ⁡ - 1 = 0 + π

Logo,

∫ 0 2 1 2 x - x 2 d x = π

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x