Calcule, caso exista, cada item abaixo

d )   ∫ x 2 1 + x 3 2 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

O problema nos pediu para calcularmos essa integral indefinida aqui:

∫ x 2 1 + x 3 2 d x

Mas será que temos uma tabela para essa integral? Ou será que temos pelo menos alguma coisa parecida?

Isso, temos uma coisa parecida! A primeira coisa que olhamos em uma integral é: tem na tabela? Se não tiver, nos perguntamos o seguinte: e será que tem algo bem parecido?

Bom, quando a resposta for sim a ideia é resolver essa integral por substituição simples, no nosso caso sabemos qual é a integral de e u :

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

E é bem parecido com a integral que precisamos resolver!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos resolver o seguinte:

∫ x 2 1 + x 3 2 d x

Uma substituição interessante a se fazer é chamar tudo que está dentro dos parênteses de u :

u = x 3 + 1

Isso porque quando derivarmos para achar d u

d u = 3 x 2   d x

Vamos ter uma coisa parecida com o que temos no nosso integrando!

Então a ideia é sempre essa: tentar encontrar uma substituição que te ajude e encontrar alguma fórmula da tabela de integrais!

Agora vem a ideia master da substituição simples: substituir tudo que tem x por u ! A integral final deve ser uma coisa que cabe certinho na tabela

Então nossa substituição é

u = x 3 + 1

d u = 3 x 2   d x → x 2   d x = 1 3 d u

Então agora vamos substituir o argumento da integral e aquele d x :

∫ x 2 1 + x 3 2 d x

= ∫ 1 u 2 1 3 d u = 1 3 ∫ u - 2 d u

Passo 3

Agora que nossa integral tem uma correspondente direta da tabela, é só integrar:

∫ x 2 1 + x 3 2 d x = 1 3 ∫ u - 2 d u = 1 3 . u - 2 + 1 - 2 + 1 + C

= - 1 3 . u - 1 = - 1 3 . 1 u

E acabou? Não! Precisamos retornar ao x ! Lembrando que u = x 3 + 1 , daí temos nosso resultado final:

∫ x 2 1 + x 3 2 d x = - 1 3 1 ( x 3 + 1 ) + C

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

- 1 3 1 ( x 3 + 1 ) + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x