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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 1 – Alternativa e)

Calcule:

e )   ∫ csc 6 ⁡ ( 2 t ) d t

Passo 1

Opa!! Bora para mais uma!!

Para esta aqui vamos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

1 + cot 2 ⁡ ( 2 t ) = csc 2 ⁡ ( 2 t )         ( 1 )

E também que:

d d t cot ⁡ 2 t = - 2 csc 2 ⁡ 2 t           ( 2 )

Vamos tentar!! Bora lá!!

Passo 2

Temos que com a equação (1):

∫ csc 6 ⁡ ( 2 t ) = ∫ csc 4 ⁡ ( 2 t ) csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t = ∫ csc 4 ⁡ 2 t ( 1 + cot 2 ⁡ ( 2 t ) ) d t

Ou seja:

∫ csc 4 ⁡ 2 t ( 1 + cot 2 ⁡ ( 2 t ) ) d t = ∫ csc 4 ⁡ ( 2 t ) d t + ∫ csc 4 ⁡ ( 2 t ) cot 2 ⁡ ( 2 t ) d t

Vamos continuar expandindo esta expressão!

Passo 3

Novamente com a equação (1):

∫ csc 4 ⁡ 2 t d t + ∫ csc 4 ⁡ 2 t cot 2 ⁡ 2 t d t = →

→ = ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t + ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) cot 2 ⁡ ( 2 t ) d t + ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) cot 2 ⁡ ( 2 t ) + ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) cot 4 ⁡ ( 2 t ) d t

A primeira integral está em formato de identificar uma primitiva, as outras integrais precisamos fazer uma substituição simples! Saca só!

Passo 4

Vou fazer a substituição u = cot ⁡ ( 2 t ) e d u =   - 2 csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t , de forma que:

∫ csc 2 ⁡ 2 t d t + 2 ∫ csc 2 ⁡ 2 t cot 2 ⁡ 2 t d t + ∫ csc 2 ⁡ 2 t cot 4 ⁡ 2 t d t = →

→ = ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t - 2 2 ∫ u 2 d u - 1 2 ∫ u 4 d u

Agora, para a primeira integral, vamos dar uma olhada na equação (2), temos que:

d d t cot ⁡ 2 t = - 2 csc 2 ⁡ 2 t → d d t co t ⁡ 2 t d t = - 2 csc 2 ⁡ 2 t d t →

→ ∫ d cos ⁡ 2 t = - 2 ∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t

Portanto:

∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t = - 1 2 cot ⁡ 2 t + C

Vamos resolver as que faltam agora!

Passo 5

Para estas, vamos utilizar simplesmente que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Ou seja, temos que:

∫ csc 2 ⁡ ( 2 t ) d t - ∫ u 2 d u - 1 2 ∫ u 4 d u = - 1 2 cot ⁡ 2 t - u 3 3 - 1 10 u 5 + C

Nas variáveis originais, temos:

∫ csc 6 ⁡ ( 2 t ) d t = - cot ⁡ 2 t 2 - cot ⁡ ( 2 t ) 3 3 - cot ⁡ ( 2 t ) 5 10 + C

Mais uma alternativa já era! Bora bora para a próxima!!

Resposta

∫ csc 6 ⁡ ( 2 t ) d t = - cot ⁡ 2 t 2 - cot ⁡ ( 2 t ) 3 3 - cot ⁡ ( 2 t ) 5 10 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x