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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P3 - 2023.1, Questão 1

Calcule as integrais:

∫ 1 3   2 x 2 + 2 x 3 d x

Passo 1

Para calcular a integral ∫ 1 3   2 x 2 + 2 x 3 d x , podemos dividir a fração em dois termos e então integrar cada um separadamente. A integral de uma soma é a soma das integrais individuais. Vamos calcular cada parte:

1 .   ∫ 1 3   2 x 2 x 3 d x   :

Aqui, podemos simplificar a fração, pois x 2 na parte superior e inferior pode ser cancelado:

∫ 1 3   2 x 2 x 3 d x = ∫ 1 3   2 x d x .

A g o r a ,   i n t e g r a m o s   c o m   r e l a ç ã o   a   x   :

∫ 1 3   2 x d x = 2 l n ⁡ | x | | 3 = 2 l n ⁡ | 3 | - 2 l n ⁡ | 1 | = 2 l n ⁡ ( 3 ) .

Passo 2

2 .   ∫ 1 3   2 x 3 d x   :

N e s t a   p a r t e ,   a   i n t e g r a l   é   d i r e t a :

∫ 1 3   2 x 3 d x = - 1 x 2 | 1 3 = - 1 3 2 + 1 = 1 - 1 9 = 8 9 .

Agora, somamos as integrais das duas partes:

∫ 1 3   2 x 2 + 2 x 3 d x = ∫ 1 3   2 x 2 x 3 d x + ∫ 1 3   2 x 3 d x = 2 l n ⁡ ( 3 ) + 8 9 .

Resposta

P o r t a n t o ,   a   i n t e g r a l   ∫ 1 3   2 x 2 + 2 x 3 d x   é   i g u a l   a   2 l n ⁡ ( 3 ) + 8 9 .

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