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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P3 - 2023.1, Questão 5

5.1. Calcule as integrais

∫ 3 x 2 - x x 3 - x 2 + x - 1 d x

Passo 1

Para calcular a integral ∫ 3 x 2 - x x 3 - x 2 + x - 1 d x , vamos primeiro fazer a fatoração do denominador:

x 3 - x 2 + x - 1 = x 2 ( x - 1 ) + ( x - 1 ) = x 2 + 1 ( x - 1 ) .

Agora podemos reescrever a integral da seguinte forma:

∫   3 x 2 - x x 2 + 1 ( x - 1 ) d x

Passo 2

Para calcular essa integral, precisamos fazer uma decomposição em frações parciais. Vamos decompor a função em frações da forma A x - 1 e B x + C x 2 + 1 :

3 x 2 - x x 2 + 1 ( x - 1 ) = A x - 1 + B x + C x 2 + 1 .

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador x 2 + 1 ( x - 1 ) :

3 x 2 - x = A x 2 + 1 + ( B x + C ) ( x - 1 ) .

Expandindo os produtos:

3 x 2 - x = A x 2 + A + B x 2 - B x + C x - C .

Igualando os termos correspondentes:

3 x 2 - x = ( A + B ) x 2 + ( C - B ) x + ( A - C ) .

Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:

A + B = 3 ,   C - B = - 1 ,   A - C = 0 .

Passo 3

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos A = C = 1 e B = 2 .Agora podemos reescrever a integral utilizando as frações parciais:

∫   3 x 2 - x x 2 + 1 ( x - 1 ) d x = ∫   1 x - 1 d x + ∫   2 x + 1 x 2 + 1 d x .

Integrando cada uma das frações parciais:

  ∫   1 x - 1 d x = l n ⁡ | x - 1 | + C 1   ∫   2 x + 1 x 2 + 1 d x = l n ⁡ x 2 + 1 + C 2

Resposta

Portanto, a integral original é:

∫   3 x 2 - x x 3 - x 2 + x - 1 d x = l n ⁡ | x - 1 | + l n ⁡ x 2 + 1 + C ,

onde C = C 1 + C 2 é a constante de integração.

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
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