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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 13- Questão 1g

Calcule as integrais abaixo.

g )   ∫ a r c s e n ( y ) 2 1 - y ² d y

Passo 1

E aii, xuxus!! Quais as novidades? A que eu tenho pra vocês é que vão tirar 10 nessa matéria :)

Bom a questão quer que calculemos a integral indefinida ∫ a r c s e n ( y ) 2 1 - y ² d y .

Porém, antes de calcularmos a integral em si, vamos fazer um breve resumo sobre o que é uma integral indefinida. A integral indefinida é aquela em que não possui limites de integração, logo o resultado nunca será um valor numérico e sim uma função primitiva da função a qual estou integrando, em síntese nessa questão estaremos procurando algo do seguinte formato:

∫ a r c s e n ( y ) 2 1 - y ² d y   =   g ( y )   +   K , onde .

Portanto, o que precisamos encontrar nessa letra é o g ( y ) que é nossa função primitiva. Por onde começamos???

Passo 2

Bom precisaremos utilizar a regra da substituição nesse caso, a regra da substituição é basicamente uma troca de variáveis que fazemos com o intuito de facilitar e agilizar nossos cálculos. Sendo assim, chamaremos u   =   a r c s e n ( y ) . Calculando a derivada

Reescrevendo a expressão temos que

∫ a r c s e n ( y ) 2 1 - y ² d y   =   1 2 ∫ a r c s e n ( y ) 1 - y ² d y   = 1 2 ∫ u d u   =   1 2 ⋅ u ² 2   =   u ² 4

Passo 3

Substituindo na equação do passo anterior u por a r c s e n ( y ) encontraremos a nossa g ( y ) :

∫ a r c s e n ( y ) 2 1 - y ² d y     = u ² 4 =   a r c s e n ( y ) ² 4  

Portanto nossa resolução final será

∫ a r c s e n ( y ) 2 1 - y ² d y       = a r c s e n ( y ) ² 4   + K   , onde

E aí xuxus? Essa resolução foi útil para vocês? Responde Aí! :)

Resposta

∫ a r c s e n ( y ) 2 1 - y ² d y       = a r c s e n ( y ) ² 4   + K   , onde .

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