Calcule as integrais abaixo.

h )   ∫ ( 1   +   e - a t ) 3 2 e - a t d t

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha!

Bom a questão quer que calculemos a integral indefinida   ∫ ( 1   +   e - a t ) 3 2 e - a t d t

Porém, antes de calcularmos a integral em si, vamos fazer um breve resumo sobre o que é uma integral indefinida. A integral indefinida é aquela em que não possui limites de integração, logo o resultado nunca será um valor numérico e sim uma função primitiva da função a qual estou integrando, em síntese nessa questão estaremos procurando algo do seguinte formato:

  ∫ ( 1   +   e - a t ) 3 2 e - a t d t   =   g ( t )   +   K , onde .

Portanto, o que precisamos encontrar nessa letra é o g ( t ) que é nossa função primitiva. Por onde começamos???

Passo 2

Bom precisaremos utilizar a regra da substituição nesse caso, a regra da substituição é basicamente uma troca de variáveis que fazemos com o intuito de facilitar e agilizar nossos cálculos. Sendo assim, chamaremos u   =   1   +   e - a t . Calculando a derivada

Reescrevendo a expressão temos que

∫ ( 1   +   e - a t ) 3 2 e - a t d t   = ∫ ( u ) 3 2 ⋅ ( - d u a )   =   - 1 a ∫ ( u ) 3 2   d u    

=   - 1 a ⋅ u 3 2 + 1 3 2 + 1   = - 1 a ⋅ u 5 2 5 2   = - 1 a ⋅ 2 5   u 5 2

Passo 3

Passo 4

Substituindo na equação do passo anterior u por 1   +   e - a t encontraremos a nossa g ( t ) :

∫ ( 1   +   e - a t ) 3 2 e - a t d t   = - 1 a ⋅ 2 5   u 5 2   =   - 1 a ⋅ 2 5   (   1   +   e - a t ) 5 2     =   - 2   (   1   +   e - a t ) 5 2 5 a

Portanto nossa resolução final será

∫ ( 1   +   e - a t ) 3 2 e - a t d t   =   - 2   (   1   +   e - a t ) 5 2 5 a   +   K , onde .

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! :)

Resposta

∫ ( 1   +   e - a t ) 3 2 e - a t d t   =   - 2   (   1   +   e - a t ) 5 2 5 a   +   K , onde .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x