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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 13- Questão 1i

Calcule as integrais abaixo.

i )   ∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) d x

Passo 1

Oiiii gente linda, tudo bem com vocês?? Bora pra mais um?

Bom a questão quer que calculemos a integral indefinida   ∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) d x

Porém, antes de calcularmos a integral em si, vamos fazer um breve resumo sobre o que é uma integral indefinida. A integral indefinida é aquela em que não possui limites de integração, logo o resultado nunca será um valor numérico e sim uma função primitiva da função a qual estou integrando, em síntese nessa questão estaremos procurando algo do seguinte formato:

  ∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) d x   =   g ( x )   +   K , onde .

Portanto, o que precisamos encontrar nessa letra é o g ( x ) que é nossa função primitiva. Me ajudem, por onde podemos iniciar???

Passo 2

Reescrevendo a expressão tendo em vista que s e n ² ( x )   =   1   -   c o s ² ( x ) :

∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) d x   =   ∫ s e n ( x ) ( 1 - c o s ( x ) d x

Bom precisaremos utilizar a regra da substituição nesse caso, a regra da substituição é basicamente uma troca de variáveis que fazemos com o intuito de facilitar e agilizar nossos cálculos. Dessa forma, chamaremos u   =   c o s ( x ) . Calculando a derivada

Reescrevendo a expressão temos que

∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) d x   =   ∫ ( - 1   +   u ² ) d u  

Utilizando a regra da integral da soma, temos que:

∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) d x   =   ∫ ( - 1   +   u ² ) d u =   ∫ - 1 d u   + ∫ u ² d u   =   - ∫ 1 d u   + ∫ u ² d u    

Passo 3

Passo 4

Calculando cada uma das integrais do passo anterior separadamente:

∫ 1 d u   =   u

∫ u ² d u     =   u 2   + 1 2   + 1   =   u ³ 3

Assim,

∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) d x   = - ∫ 1 d u   + ∫ u ² d u     =   - u   +     u ³ 3

Substituindo   u   por c o s ( x ) encontraremos que a g ( x ) será:

- ∫ 1 d u   + ∫ u ² d u =   - u   +     u ³ 3   = - c o s ( x )   + c o s ( x ) ³ 3  

Portanto nossa resposta final terá o seguinte formato:

∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) d x   = - c o s ( x )   + c o s ( x ) ³ 3   +   K   , com .

Bons Estudos!!! Até mais :)

Resposta

∫ s e n ( x ) s e n ² ( x ) d x   = - c o s ( x )   + c o s ( x ) ³ 3   +   K   , com .

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