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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UnB - Cálculo I - Listas - Lista 13- Questão 1j

Calcule as integrais abaixo.

j )   ∫ x + 1 d x

Passo 1

Olá pessoal, como vai a vida? Espero que esteja bem! Vamos pra mais uma questão??

Bom a questão quer que calculemos a integral indefinida ∫ x + 1 d x

Entretanto, antes de calcularmos a integral em si, vamos fazer um breve resumo sobre o que é uma integral indefinida. A integral indefinida é aquela em que não possui limites de integração, logo o resultado nunca será um valor numérico e sim uma função primitiva da função a qual estou integrando, em síntese nessa questão estaremos procurando algo do seguinte formato:

∫ x + 1 d x   =   g ( x )   +   K , onde .

Portanto, o que precisamos encontrar nessa letra é o g ( x ) que é nossa função primitiva. Me ajudem, por onde podemos iniciar???

Passo 2

Bom precisaremos utilizar a regra da substituição nesse caso, a regra da substituição é basicamente uma troca de variáveis que fazemos com o intuito de facilitar e agilizar nossos cálculos. Dessa forma, chamaremos u   =   x + 1 . Calculando a derivada

Reescrevendo a expressão teremos:

∫ x + 1 d x   =   ∫ u ⋅ 2 ( u - 1 ) d u   =   2 ⋅ ∫ u ( u - 1 ) d u   =   2 ⋅ ∫ u 3 2   -   u 1 2 d u      

Utilizando a regra da integral da soma, temos que:

∫ x + 1 d x   =     2 ⋅ ∫ u 3 2   -   u 1 2 d u   =   2 ( ∫ u 3 2 d u   -   ∫ u 1 2 d u )    

Passo 3

Passo 4

Calculando cada uma das integrais do passo anterior separadamente:

∫ u 3 2   d u =   u 3 2   + 1 3 2   + 1   =   2 5 u 5 2

∫ u 1 2 d u   =   u 1 2   + 1 1 2   + 1   =   2 3 u 3 2

Assim,

∫ x + 1 d x   =   2 ( ∫ u 3 2 d u   -   ∫ u 1 2 d u )   =     2 (   2 5 u 5 2 -   2 3 u 3 2 )    

Substituindo   u   por x + 1 encontraremos que a g ( x ) será:

  2 (   2 5 u 5 2 -   2 3 u 3 2 )   =     2 (   2 5 ( x + 1 ) 5 2 -   2 3 ( x + 1 ) 3 2 )

Portanto nossa resposta final terá o seguinte formato:

∫ x + 1 d x = 2 (   2 5 ( x + 1 ) 5 2 -   2 3 ( x + 1 ) 3 2   +   K   , com .

Bons Estudos!!! Até mais :)

Resposta

∫ x + 1 d x = 2 (   2 5 ( x + 1 ) 5 2 -   2 3 ( x + 1 ) 3 2   +   K   , com .

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