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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

11.3 Calcule as integrais abaixo:

b) ∫ 9 - x 2 d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 9 - x 2 d x .

Como tem essa raiz com uma diferença de quadrados dentro, vamos usar substituição trigonométrica:

Pra a 2 - x 2 usamos:

x = a sen ⁡ θ ou x = a cos ⁡ θ

Passo 2

Usando a substituição:

x = 3 sen ⁡ θ → d x = 3 cos ⁡ θ d θ

A integral fica:

  ∫ 9 - x 2 d x = ∫ 9 - 3 sen ⁡ θ 2 3 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 9 - 9 sen 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 9 1 - sen 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 9 cos 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 3 cos ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 9 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Lembrando da definição de arco duplo:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Ficamos com:

∫ 9 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 9 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 9 2 θ - 9 4 sen ⁡ 2 θ

Mas temos que voltar pra x ,   né?

Como:

x = 3 sen ⁡ θ

sen ⁡ θ = x 3

θ = asen ⁡ x 3

Então:

= 9 2 asen ⁡ x 3 - 9 4 sen ⁡ 2 asen ⁡ x 3

Como é integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= 9 2 asen ⁡ x 3 - 9 4 sen ⁡ 2 asen ⁡ x 3 + C

Resposta

9 2 asen ⁡ x 3 - 9 4 sen ⁡ 2 asen ⁡ x 3 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x