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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

11.7 Calcule as integrais abaixo:

a) ∫ 9 + t 2 d t

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 9 + t 2 d t .

Como temos essa raiz com dois termos dentro (e com a variável ao quadrado)... tudo indica que vamos usar substituição trigonométrica.

Como temos a 2 + x 2 , usamos x = a tan ⁡ θ .

Passo 2

Usando substituição trigonométrica:

t = 3 tan ⁡ θ → d t = 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Então:

∫ 9 + t 2 d t = ∫ 9 + 3 tan ⁡ θ 2 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 9 + 9 tan 2 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 9 1 + tan 2 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que 1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

= ∫ 9 sec 2 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 3 sec ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= 9 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 3

Resolvendo a integral ∫ sec 3 ⁡ θ d θ ...

Desmembrando:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Agora usamos integração por partes:

u = sec ⁡ θ → d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

d v = sec 2 ⁡ θ d θ → v = tan ⁡ θ

Então:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ sec 3 ⁡ θ - sec ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ + ∫ sec ⁡ θ d θ

2 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ∫ sec ⁡ θ d θ

2 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 2

Passo 4

Voltando pra equação do final do passo 2:

9 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 9 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Lembrando que usamos a substituição t = 3 tan ⁡ θ , pra achar a secante de θ em função t :

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ

1 + t 3 2 = sec 2 ⁡ θ

sec ⁡ θ = 1 + t 2 9

sec ⁡ θ = 9 + t 2 9

sec ⁡ θ = 9 + t 2 3

Então ficamos com:

  ∫ 9 + t 2 d t = 9 2 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

= 9 2 t 3 9 + t 2 3 + ln ⁡ t 3 + 9 + t 2 3

= 1 2 t 9 + t 2 + 9 2 ln ⁡ t + 9 + t 2 3

E como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= 1 2 t 9 + t 2 + 9 2 ln ⁡ t + 9 + t 2 3 + C

Resposta

1 2 t 9 + t 2 + 9 2 ln ⁡ t + 9 + t 2 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x