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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

11.7 Calcule as integrais abaixo:

b) ∫ e 2 x cos ⁡ x d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ e 2 x cos ⁡ x d x .

Como são duas funções beeem diferentes sendo multiplicadas, podemos usar integração por partes.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Usando integração por partes:

u = e 2 x → d u = 2 e 2 x d x

d v = cos ⁡ x d x → v = sen ⁡ x

Então:

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sen ⁡ x - ∫ sen ⁡ x 2 e 2 x d x

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sen ⁡ x - ∫ 2 e 2 x sen ⁡ x d x

Passo 3

Usando integração por parte de novo pra resolver ∫ 2 e 2 x sen ⁡ x d x :

u = 2 e 2 x → d u = 4 e 2 x d x

d v = sen ⁡ x d x → v = - cos ⁡ x

Então:

∫ 2 e 2 x sen ⁡ x d x = 2 e 2 x - cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x 4 e 2 x d x

∫ 2 e 2 x sen ⁡ x d x = - 2 e 2 x cos ⁡ x + ∫ 4 e 2 x cos ⁡ x d x

Passo 4

Substituindo na equação do final do passo 2:

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sen ⁡ x - - 2 e 2 x cos ⁡ x + ∫ 4 e 2 x cos ⁡ x d x

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 e 2 x cos ⁡ x - ∫ 4 e 2 x cos ⁡ x d x

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 e 2 x cos ⁡ x - 4 ∫ e 2 x cos ⁡ x d x

5 ∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 e 2 x cos ⁡ x

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 e 2 x cos ⁡ x 5

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final;

∫ e 2 x cos ⁡ x d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 e 2 x cos ⁡ x 5 + C

Resposta

e 2 x sen ⁡ x + 2 e 2 x cos ⁡ x 5 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x