1) Calcule as integrais abaixo:

a )       ∫ sin ⁡ 2 x cos 2 ⁡ 2 x d x

Passo 1

Cara, em integrais como assim, a primeira coisa que temos a fazer é parar.

“Parar? Como assim?”

Sim! Parar. Parar e olhar a integral por alguns momentos. Isso porque a integral, o jeito que ela está escrita, pode nos indicar como resolvê-la. Veja:

∫ sin ⁡ 2 x cos 2 ⁡ 2 x d x

Temos um seno em cima e um cosseno em baixo e a gente sabe que o seno é a derivada do cosseno negativo. Isso está sugerindo então... Uma substituição simples:

cos ⁡ 2 x = t

Passo 2

Devemos agora encontrar o termos d x . Basta derivar aplicando a regra da cadeia...

d t = - sin ⁡ 2 x ⋅ 2 x ' d x

d t = - 2 sin ⁡ 2 x d x

“Isolando” o sin ⁡ 2 x d x :

sin ⁡ 2 x d x = - d t 2

Passo 3

Substituindo esses dois detalhes importantes:

cos ⁡ 2 x = t

sin ⁡ 2 x d x = - d t 2

∫ sin ⁡ 2 x cos 2 ⁡ 2 x d x = - 1 2 ∫ 1 t 2 d t =

- 1 2 - 1 t + C = 1 2 t + C

Substituindo novamente o t ...

∫ sin ⁡ 2 x cos 2 ⁡ 2 x d x = 1 2 cos ⁡ 2 x + C

C é a constante de integração.

Resposta

1 2 cos ⁡ 2 x + C

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