11.7 Calcule as integrais abaixo:

c) ∫ tan 9 ⁡ x sec 4 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ tan 9 ⁡ x sec 4 ⁡ ( x ) d x .

Lembrando que a derivada de tangente é sec 2 ⁡ x .

E da identidade trigonométrica:

sec 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x

Vamos manipular pra deixar de maneira conveniente e usar substituição simples.

Passo 2

Desmembrando (porque queremos que apareça o sec 2 ⁡ x :

∫ tan 9 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = ∫ tan 9 ⁡ x sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

Usando a identidade trigonométrica:

= ∫ tan 9 ⁡ x ( 1 + tan 2 ⁡ x ) sec 2 ⁡ x d x

= ∫ tan 9 ⁡ x + tan 11 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

Usando substituição simples:

u = tan ⁡ x → d u sec 2 ⁡ x d x

Então:

= ∫ u 9 + u 11 d u

= u 10 10 + u 12 12

Voltando pra x :

= tan 10 ⁡ x 10 + tan 12 ⁡ x 12

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= tan 10 ⁡ x 10 + tan 12 ⁡ x 12 + C

Resposta

tan 10 ⁡ x 10 + tan 12 ⁡ x 12 + C

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