Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.

a )   ∫ 0 1 x 1 - x ²   d x

Passo 1

Hellooo pessoal lindo do Responde Aí, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos começar?

A primeira coisa que podemos notar dessa questão é que a nossa integral é definida, uma vez que ela possui limites de integração. Além disso, agora sabemos também que por ser uma integral definida a resposta será um número e não mais uma outra função.

Bom, a questão quer saber qual será   ∫ 0 1 x 1 - x ²   d x , ademais o enunciado da questão ainda nos dá uma dica fundamental que é o fato de podermos utilizar a Regra da Substituição sempre que julgarmos necessário. Como poderemos dar início???

Passo 2

Iremos utilizar a Regra da Substituição, a regra da substituição consiste em fazer uma mudança de variável com o objetivo de otimizar os cálculos. Chamaremos u   =   1   -   x ² . Calculando a derivada

Reescrevendo a expressão temos que

∫ 0 1 x 1 - x ²   d x   =   ∫ 0 1 - u ² d u   =   -   ∫ 0 1 u ² d u   =   - u 2   +   1 2 + 1 | 0 1   =   - u ³ 3 | 0 1

Passo 3

Substituindo na equação do passo anterior u por 1 - x ² encontramos que

∫ 0 1 x 1 - x ²   d x   = - u ³ 3 | 0 1   =   - ( 1 - x ² ) ³ 3 | 0 1   = - ( 1 - 1 ² ) ³ 3   -   ( - ( 1 - 0 ² ) ³ 3 )   =   1 3  

Bons Estudos! Beijinhos :)

Resposta

∫ 0 1 x 1 - x ²   d x   =   1 3  

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x