Calcule as integrais definidas abaixo

l )   ∫ 0 ln ⁡ 2 e - x d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema pediu para calcularmos essa integral aqui

∫ 0 ln ⁡ 2 e - x d x

A ideia aqui é encontrar das fórmulas de primitivas que mais se adequa ao que temos!

Anota aí as principais primitivas:

E depois? Depois de integrar, precisamos aplicar nos limites de integração! E é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa integral indefinida é

∫ e - x d x

Olhando com mais carinho a nossa tabela de primitivas, vemos que podemos usar a integral da exponencial:

∫ e x d x = e x

Mas pera aí: não é beeeem o que temos! E agora? Podemos fazer uma pequena de variáveis!

- x = u → - d x = d u

E podemos reescrever nossa integral em termos de u :

∫ e - x d x = ∫ e u ( - d u ) = - ∫ e u d u

E agora? Agora podemos aplicar a fórmula da tabela!

- ∫ e u d u = - e u

E por fim retornar para x :

∫ e - x d x = - e - x

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora vamos aplicar nos limites de integração! Relembrando que nossa integral era definida e assim:

∫ 0 ln ⁡ 2 e - x d x

E no passo anterior calculamos a indefinida

∫ e - x d x = - e - x

Agora é só usar esse resultado e aplicar nos limites:

∫ 0 ln ⁡ 2 e - x d x =   - e - x 0 ln ⁡ 2 = - e - ln ⁡ 2 - [ - e 0 ]

= - e ln ⁡ 2 - 1 + 1 = - 2 - 1 + 1 = - 1 2 + 1 = 1 2

Aí nossa integral é

∫ 0 ln ⁡ 2 e - x d x = 1 2

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

1 2

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