Calcule as integrais das funções abaixo:

b )   ∫ x - 6 2 x ( x - 5 x + 6 ) d x  

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão fala de integral de uma função! Precisamos resolver essa integral indefinida aqui

∫ x - 6 2 x ( x - 5 x + 6 ) d x

e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...

Temos como integrando uma razão de polinômios com raízes, mas não podemos separar do jeito que está para usarmos a técnica de substituição (temos um produto de polinômios no denominador). Mas então o que fazer?

A ideia aqui é usar uma substituição simples para que esse integrando fique mais simples (sem aquelas raízes todas) e assim separar usando frações parciais! E assim, vamos conseguir usar a técnica de substituição e com bastante sorte vamos ter uma integral mais fácil para resolver!

Belezinha até aqui?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte

∫ x - 6 2 x ( x - 5 x + 6 ) d x

Antes de mais nada, vamos analisar o integrando com mais carinho

x - 6 2 x x - 5 x + 6 d x

Note que temos x e x , e se usarmos u = x → x = u 2 e aí que está nosso pulo do gato!

Vamos fazer essa substituição!

u = x

d u = 1 2 x d x = 1 2 u d x  

E agora substituir no nosso integrando

x - 6 2 x x - 5 x + 6 d x = u - 6 2 u 2 u 2 - 5 u + 6 2 u   d u = ( u - 6 ) d u u u 2 - 5 u + 6

Tudo bem até aqui?

Ainda podemos simplificar mais o denominador

u 2 - 5 u + 6 = ( u - 3 ) ( u - 2 )

Aí nosso integrando fica finalmente assim

( u - 6 ) d u u ( u - 3 ) ( u - 2 )

Agora sim! Podemos usar a técnica da substituição para integrar!

Assim nossa integral fica

∫ ( u - 6 ) d u u ( u - 3 ) ( u - 2 )

Ficou melhor?

Embora não pareça, ficou sim! Agora temos que resolver uma integral com uma razão de polinômios, em que o grau do denominador é maior do que o numerador: FRAÇÕES PARCIAIS!

Sim! Isso mesmo! Vamos decompor esse integrando em frações parciais para poder integrar com mais facilidade!

Tranquilo? Vamos lá?

Passo 3

Bora transformar nosso integrando em frações parciais:

u - 6 d u u u - 3 u - 2

Temos que nosso denominador já está separado em monômios, todos com grau um, então nossa separação vai ficar assim

u - 6 u u - 3 u - 2 = A u + B u - 3 + C u - 2 = A u - 3 u - 2 + B u u - 2 + C u ( u - 3 ) u u - 3 u - 2

Organizando os termos com o mesmo grau temos

u - 6 u u - 3 u - 2 = A u 2 - 5 u + 6 + B u 2 - 2 u + C u 2 - 3 u u u - 3 u - 2

= u 2 A + B + C + u - 5 A - 2 B - 3 C + 6 A u u - 3 u - 2

Beleza?

Um polinômio só é igual ao outro quando os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais, então temos três equações com as constantes A , B e C que precisam ser satisfeitas:

A + B + C = 0 - 5 A - 2 B - 3 C = 1 6 A = - 6

Da terceira equação temos o seguinte

6 A = - 6 → A = - 1

E substituindo na primeira temos

- 1 + B + C = 0 → B = 1 - C

E substituindo A = - 1 e B = 1 - C na segunda equação conseguimos achar C :

- 5 ( - 1 ) - 2 ( 1 - C ) - 3 C = 1

5 - 2 + 2 C - 3 C = 1

- C = 1 - 5 + 2

- C = - 2 → C = 2

E por fim substituindo na primeira novamente temos B :

B = 1 - C = 1 - 2 = - 1

Beleza?

Assim nosso integrando em frações parciais fica assim:

u - 6 d u u u - 3 u - 2 = - 1 u + - 1 u - 3 + 2 u - 2

Belezinha? Vamos integrar?

Passo 4

Precisamos resolver agora essa integral aqui:

∫ - 1 u + - 1 u - 3 + 2 u - 2 d u = - ∫ 1 u d u - ∫ 1 u - 3 d u + 2 ∫ 1 u - 2 d u

Bem mais tranquilo né? As três são integrais do logaritmo, duas delas deslocadas, e integrando temos

- ln ⁡ u - 3 ln ⁡ u - 3 + 2 ln ⁡ ( u - 2 )

Terminamos? NÃO!

Nossa integral original é em x ! Então precisamos retornar para a variável x e somar a constante de integração, afinal nossa integral é indefinida!

Sabendo que

u = x

Daí nosso resultado fica

- ln ⁡ x - 3 ln ⁡ x - 3 + 2 ln ⁡ ( x - 2 ) + C

Ufa, terminamos galera! Vamos para a próxima?

Resposta

- ln ⁡ x - 3 ln ⁡ x - 3 + 2 ln ⁡ ( x - 2 ) + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x