Calcule as integrais indefinidas abaixo

26 .   ∫ 2 x x + 1 2006 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 2 x x + 1 2006 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar chamando u = x + 1 → x = u - 1 , assim d u =   d x

Aí nossa integral fica assim

∫ 2 x x + 1 2006 d x = 2 ∫ u - 1 u 2006 d u = 2 ∫ u 2007 - u 2006 d u

Beleza?

Agora é só integrar!

= 2 u 2008 2008 - 2 u 2007 2007 + C

nosso integrando ficou bem mais tranquilo de integrar né?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = 1 + x

Aí nossa integral

u 2008 1004 - 2 u 2007 2007 + C = ( x + 1 ) 2008 1004 - 2 ( x + 1 ) 2007 2007 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

( x + 1 ) 2008 1004 - 2 ( x + 1 ) 2007 2007 + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x