Calcule as integrais indefinidas abaixo:

f )   ∫ x 2 4 - x 3 2 / 3 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:

∫ x 2 4 - x 3 2 / 3 d x

Mas essa aí não está na tabela, e agora?

Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!

A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função u e a outra sua derivada d u

E aí tentar reescrever a integral em termos de u e d u ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ x 2 4 - x 3 2 / 3 d x

E olha só: temos um x 3 dentro dos parênteses e um x 2 por fora. Quando derivamos uma função polinomial, o expoente cai, não cai? Então é isso! Vamos chamar de u

u = 4 - x 3

E derivar:

d u = - 3 x 2   d x

Podemos então dizer que:

d x = - 1 3 x 2   d u  

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos substituir no nosso integrando!

u = 4 - x 3

d x = - 1 3 x 2   d u

Colocando na integral temos

∫ x 2 4 - x 3 2 3 d x = ∫ x 2 u 2 3 - 1 3 x 2 d u  

∫ - u 2 3 3   d u = - 1 3 ∫ u 2 3   d u  

Ficou a integral de uma potência!

agora partiu integrar!

∫ x 2 4 - x 3 2 3 d x = - 1 3 × 3 5 u 5 3 + C  

∫ x 2 4 - x 3 2 3 d x = - 1 5 u 5 3 + C  

E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para x ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos

u = 4 - x 3

E substituir no nosso resultado:

∫ x 2 4 - x 3 2 / 3 d x = - 1 5 4 - x 3 5 3 + C  

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ x 2 4 - x 3 2 / 3 d x = - 1 5 4 - x 3 5 3 + C  

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