Calcule as integrais indefinidas abaixo:

g )   ∫ e x 1 - e x 2 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:

∫ e x 1 - e x 2 d x

Mas essa aí não está na tabela, e agora?

Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!

A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função u e a outra sua derivada d u

E aí tentar reescrever a integral em termos de u e d u ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ e x 1 - e x 2 d x

E olha só: temos um e x dentro dos parênteses (ao quadrado, para a tristeza de todos) e um outro e x por fora. Quando derivamos uma função exponencial e x , o resultado não é outro e x ? Então é isso! Vamos chamar de u a coisa mais complicada

u = 1 - e x

E derivar:

d u = - e x   d x

Dentro do integrando temos e x d x , então podemos rescrever para ter exatamente isso de um lado

- d u = e x d x

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos substituir no nosso integrando!

u = 1 - e x

- d u = e x d x

Colocando na integral temos

∫ e x 1 - e x 2 d x = ∫ - d u u 2 = - 1 ∫ u - 2 d u

Ficou a integral de uma potência!

agora partiu integrar!

∫ e x 1 - e x 2 d x = - 1 ∫ u - 2 d u = - 1 u - 1 - 1 = 1 u + C

E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para x ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos

u = 1 - e x

E substituir no nosso resultado:

∫ e x 1 - e x 2 d x = 1 1 - e x + C

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

1 1 - e x + C

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