UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.4 – Questão 2j
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:
Mas essa aí não está na tabela, e agora?
Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!
A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função e a outra sua derivada
E aí tentar reescrever a integral em termos de e ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral é a seguinte:
E olha só: temos um polinômio multiplicando um outro polinômio que tem um por dentro de uma potência. Quando derivamos um , o resultado não é ? Então é isso! Temos uma função e parcialmente sua derivada. Digo parcialmente por que a parte principal está lá, que é a potência , mas não a constante , mas para isso damos um jeito! Vamos chamar de
E derivar:
E aqui vai um truque sujo! Colocar aquele em evidência! Aí temos exatamente o que temos no integrando!
Essa é nossa substituição!
Tranquilo?
Passo 3
Agora vamos substituir no nosso integrando!
Colocando na integral temos
Ficou a integral de uma potência!
agora partiu integrar!
E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos
E substituir no nosso resultado:
Agora sim! Terminamos!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?