Calcule as integrais indefinidas abaixo:

j )   ∫ x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:

∫ x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 d x

Mas essa aí não está na tabela, e agora?

Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!

A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função u e a outra sua derivada d u

E aí tentar reescrever a integral em termos de u e d u ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 d x

E olha só: temos um polinômio ( x 2 + 1 ) multiplicando um outro polinômio que tem x 3 + 3 x um por dentro de uma potência. Quando derivamos um x 3 + 3 x , o resultado não é 3 x 2 + 3 ? Então é isso! Temos uma função u e parcialmente sua derivada. Digo parcialmente por que a parte principal está lá, que é a potência x 2 , mas não a constante 3 , mas para isso damos um jeito! Vamos chamar de u

u = x 3 + 3 x

E derivar:

d u = 3 x 2 + 3 d x → d u 3 = ( x 2 + 1 ) d x

E aqui vai um truque sujo! Colocar aquele 3 em evidência! Aí temos exatamente o que temos no integrando!

Essa é nossa substituição!

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos substituir no nosso integrando!

u = x 3 + 3 x

d u 3 = x 2 + 1 d x

Colocando na integral temos

∫ x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 d x = ∫ u 4 d u 3 = 1 3 ∫ u 4 d u

Ficou a integral de uma potência!

agora partiu integrar!

1 3 ∫ u 4 d u = 1 3 u 5 5 + C = u 5 15 + C

E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para x ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos

u = x 3 + 3 x

E substituir no nosso resultado:

∫ x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 d x = ( x 3 + 3 x ) 5 15 + C

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( x 3 + 3 x ) 5 15 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x