Calcule as integrais indefinidas abaixo:

l )   ∫ d x a x + b ,   a ≠ 0

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:

∫ d x a x + b d x

Mas essa aí não está na tabela, e agora?

Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!

A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função u e a outra sua derivada d u

E aí tentar reescrever a integral em termos de u e d u ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ d x a x + b d x

E olha só: temos um a x + b no denominador. Quando derivamos um a x + b , o resultado não é a   d x ? Então é isso! A menos de uma constante, se chamarmos nosso u de a x + b , vamos ter nosso d u no integrando!

Vamos chamar de u

u = a x + b

E derivar:

d u = a   d x

Essa é nossa substituição!

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos substituir no nosso integrando!

u = a x + b

d u = a   d x

Colocando na integral temos

∫ d x a x + b d x = ∫ 1 u a .   d u = a ∫ d u u

Ficou a integral de um sobre u que é o logaritmo!

agora partiu integrar!

∫ d x a x + b = a ∫ d u u = a ln ⁡ u + C

E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para x ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos

u = a x + b

E substituir no nosso resultado:

∫ d x a x + b = a ln ⁡ u + C

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

a ln ⁡ u + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
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