Calcule as integrais indefinidas abaixo:

n )   ∫ ( 1 + x 2 - 5 x e - 3 x 2 ) d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:

∫ ( 1 + x 2 - 5 x e - 3 x 2 ) d x

Mas essa aí não está na tabela, e agora?

Mas calma! Esse integrando tem uma soma de termos, então vamos separar em várias integrais e ver se conseguimos integrar alguma delas com as fórmulas da tabela que já conhecemos:

∫ ( 1 + x 2 - 5 x e - 3 x 2 ) d x = ∫ 1   d x + ∫ x 2 d x - 5 ∫ x e - 3 x 2 d x

Opa! As duas integrais da direita conseguimos integrar usando a regra da potência! Mas e a última?

Quando olharmos para uma integral e não vemos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!

A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função u e a outra sua derivada d u

E aí tentar reescrever a integral em termos de u e d u ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ 1   d x + ∫ x 2 d x - 5 ∫ x e - 3 x 2 d x = x + x 3 3 - 5 ∫ x e - 3 x 2 d x

Agora que integramos as duas primeiras, vamos olhar com carinho a terceira:

Temos um x 2 dentro do argumento da exponencial e um x por fora. Quando derivamos um x 2 , o resultado não é 2 x ? Então é isso! A menos de uma constante, temos uma função e sua derivada! Vamos chamar de u

u = - 3 x 2

E derivar:

d u = - 6 x   d x → - 1 6 d u = x   d x

Essa é nossa substituição!

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos substituir no nosso integrando!

u = - 3 x 2

- 1 6 d u = x   d x

Colocando na integral temos

- 5 ∫ x e - 3 x 2 d x = - 5 ∫ e u . - 1 6 d u = 5 6 ∫ e u d u = 5 6 e u

E acabou por aqui? Não! Devemos juntar esse resultado à nossa integral original e voltar para x !

Passo 4

Agora é só resgatar a substituição que fizemos, nossa integral original:

∫ ( 1 + x 2 - 5 x e - 3 x 2 ) d x =

Separamos em 3:

∫ 1   d x + ∫ x 2 d x - 5 ∫ x e - 3 x 2 d x =

Calculamos os resultados separados nos passos 2 e 3:

= x + x 3 3 + 5 6 e u

Mas u = - 3 x 2 , então:

E substituir no nosso resultado:

∫ ( 1 + x 2 - 5 x e - 3 x 2 ) d x = x + x 3 3 + 5 6 e - 3 x 2 + C

Não esquece de colocar a constante de integração no final!

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

x + x 3 3 + 5 6 e - 3 x 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x