UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.4 – Questão 2n
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:
Mas essa aí não está na tabela, e agora?
Mas calma! Esse integrando tem uma soma de termos, então vamos separar em várias integrais e ver se conseguimos integrar alguma delas com as fórmulas da tabela que já conhecemos:
Opa! As duas integrais da direita conseguimos integrar usando a regra da potência! Mas e a última?
Quando olharmos para uma integral e não vemos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!
A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função e a outra sua derivada
E aí tentar reescrever a integral em termos de e ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral é a seguinte:
Agora que integramos as duas primeiras, vamos olhar com carinho a terceira:
Temos um dentro do argumento da exponencial e um por fora. Quando derivamos um , o resultado não é ? Então é isso! A menos de uma constante, temos uma função e sua derivada! Vamos chamar de
E derivar:
Essa é nossa substituição!
Tranquilo?
Passo 3
Agora vamos substituir no nosso integrando!
Colocando na integral temos
E acabou por aqui? Não! Devemos juntar esse resultado à nossa integral original e voltar para !
Passo 4
Agora é só resgatar a substituição que fizemos, nossa integral original:
Separamos em 3:
Calculamos os resultados separados nos passos 2 e 3:
Mas , então:
E substituir no nosso resultado:
Não esquece de colocar a constante de integração no final!
Agora sim! Terminamos!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?