Calcule as integrais indefinidas abaixo:

o )   ∫ 2 x 2 x 3 + 5 - 3 x x 2 - 10 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:

∫ 2 x 2 x 3 + 5 - 3 x x 2 - 10 d x

Mas essa aí não está na tabela, e agora?

Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!

A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função u e a outra sua derivada d u

E aí tentar reescrever a integral em termos de u e d u ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ 2 x 2 x 3 + 5 - 3 x x 2 - 10 d x

E olha só: temos um x 3 no denominador da fração da esquerda, e um x 2 no numerador. Já na fração da direita temos embaixo um x 2 e em cima um x . Se em ambas as integrais nós derivarmos a função que está embaixo, vamos acabar encontrando alguma coisa (a menos de constante) igual ao que temos nos numeradores! Então é isso! Vamos chamar de u o que está embaixo

u e = x 3 + 5

E derivar:

d u e = 3 x 2   d x

E agora a fração mais à direita:

u d = x 2 - 10

d u d = 2 x   d x

Essas são nossas substituições!

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos substituir no nosso integrando!

∫ 2 x 2 x 3 + 5 - 3 x x 2 - 10 d x

u e = x 3 + 5

d u e = 3 x 2   d x → 1 3 d u e = x 2 d x

E também:

u d = x 2 - 10

d u d = 2 x   d x → 1 2 d u d = x   d x

Colocando na integral temos

∫ 2 x 2 x 3 + 5 - 3 x x 2 - 10 d x = ∫ 2 1 3 d u e u e - ∫ 3 1 2 d u d u d

= 2 3 ∫ d u e u e - 3 2 ∫ d u d u d

Ficaram duas integrais que sabemos resolver!

Passo 4

Agora #partiu integrar!

2 3 ∫ d u e u e - 3 2 ∫ d u d u d = 2 3 ln ⁡ u e - 3 2 ln ⁡ u d

E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para x ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos

u e = x 3 + 5

u d = x 2 - 10

E substituir no nosso resultado:

∫ 2 x 2 x 3 + 5 - 3 x x 2 - 10 d x = 2 3 ln ⁡ ( x 3 + 5 ) - 3 2 ln ⁡ x 2 - 10 + C

Não se esqueça de colocar aquele + C no final!

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

2 3 ln ⁡ ( x 3 + 5 ) - 3 2 ln ⁡ x 2 - 10 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x