Calcule as integrais indefinidas abaixo:

p )   ∫ x 2 x + 5 8 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:

∫ x 2 x + 5 8 d x

Mas essa aí não está na tabela, e agora?

Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!

A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função u e a outra sua derivada d u

E aí tentar reescrever a integral em termos de u e d u ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte:

∫ x 2 x + 5 8 d x

E olha só: temos um 2 x + 5 dentro do argumento de uma potência, se derivarmos vamos ter 2 d x , que (a menos de uma constante) está por fora. E aquele x dando sopa? Vamos usar nossa substituição em u ! Então é isso! Vamos chamar de u

u = 2 x + 5 → x = u - 5 2

E derivar:

d u = 2   d x

Essa é nossa substituição!

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos substituir no nosso integrando!

∫ x 2 x + 5 8 d x

Mas:

u = 2 x + 5 → x = 1 2 ( u - 5 )

d u = 2   d x → 1 2 d u = d x

Colocando na integral temos

∫ x 2 x + 5 8 d x = 1 2 ∫ u - 5 . u 8 1 2 d u = 1 4 ∫ u 9 - 5 u 8   d u

Ficamos com duas integrais de potência!

Passo 4

Agora #partiu integrar!

∫ x 2 x + 5 8 d x = 1 4 ∫ u 9 - 5 u 8   d u = 1 4 u 10 10 - 5 4 u 9 9 + C

= u 10 40 - 5 u 9 36 + C

E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para x ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos

u = 2 x + 5

E substituir no nosso resultado:

∫ x 2 x + 5 8 d x = ( 2 x + 5 ) 10 40 - 5 ( 2 x + 5 ) 9 36 + C

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( 2 x + 5 ) 10 40 - 5 ( 2 x + 5 ) 9 36 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x