Calcule as integrais indefinidas abaixo

40 .   ∫ 1 2 x 2 + 8 x + 20 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 1 2 x 2 + 8 x + 20 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar reorganizando nosso integrando! Completando quadrado!

2 x 2 + 4 x + 10 = 2 x + 2 2 + 12

E aí chamando u = x + 2 temos

1 2 x 2 + 8 x + 20 = 1 2 u 2 + 12

Nossa integral fica

∫ 1 2 u 2 + 12 d u

Beleza?

Podemos fazer ainda mais uma mudança de variáveis! Para deixar ainda mais perto de uma integral que conhecemos! Saca só!

6 v = u → d u 6 = d v

Aí nosso integrando fica assim

1 2 ( u 2 + 6 ) = 1 2 ( 6 v 2 + 6 ) = 1 12 ( v 2 + 1 )

E colocando na integral

1 2 6 ∫ d v v 2 + 1

Agora é só integrar!

= 1 2 6 arctan ⁡ v + C

ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

v = x + 2 6

Aí nossa integral

1 2 6 arctan ⁡ v + C = 1 2 6 arctan ⁡ x + 2 6 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

1 2 6 arctan ⁡ x + 2 6 + C

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Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x