Calcule as integrais indefinidas abaixo

43 .   ∫ x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ x 2 1 - x 2 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar reorganizando nosso integrando! Vamos chamar x = sin ⁡ u , assim d x = cos ⁡ u   d u . E também

sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 → 1 - x 2 = cos ⁡ u

Aí nossa integral fica assim

∫ x 2 1 - x 2 d x = ∫ sin 2 ⁡ u cos ⁡ u cos ⁡ u d u = ∫ s i n 2 u   d u

Beleza?

E por fim podemos usar outra identidade trigonométrica!

sin 2 ⁡ u = 1 - cos ⁡ 2 u 2

Agora é só substituir e integrar!

= ∫ 1 - cos ⁡ 2 u 2 d u = 1 2 u - 1 4 sin ⁡ 2 u + C

tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

x = sin ⁡ u → u = arcsin ⁡ x

Aí nossa integral

1 2 u - 1 4 sin ⁡ 2 u + C = arcsin ⁡ x 2 - 1 4 sin ⁡ 2 ( arcsin ⁡ x ) + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

arcsin ⁡ x 2 - 1 4 sin ⁡ 2 ( arcsin ⁡ x ) + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x