Calcule as integrais indefinidas abaixo

44 .   ∫ x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ x 2 1 - x 2 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar chamando x 2 = sin 2 ⁡ u → 1 - x 2 = 1 - sin 2 ⁡ u = cos 2 ⁡ u , assim d u = cos ⁡ x   d x

Aí nossa integral fica assim

∫ x 2 1 - x 2 d x = ∫ sin 2 ⁡ u cos 2 ⁡ u d u

Beleza?

Agora podemos usar uma identidade trigonométrica: a do seno do arco duplo!

sin 2 ⁡ u cos 2 ⁡ u = sin ⁡ u cos ⁡ u 2 = 1 2 sin ⁡ 2 u 2

= 1 4 sin 2 ⁡ 2 u

Beleza? E agora? Tem outra identidade trigonométrica que simplificar esse seno ao quadrado!

sin 2 ⁡ a = 1 - cos ⁡ 2 a 2

E é ela que vamos usar! Nosso integrando fica

= 1 4 1 - cos ⁡ 2 2 a 2 = 1 8 - cos ⁡ 4 a 8

ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Bora integrar!

∫ 1 8 - cos ⁡ 4 a 8 d a

Agora sim, chamando b = 4 a , assim d b = 4   d a

Aí nossa integral fica assim

∫ si n 2 x  cos 2 ⁡ x d x = 1 8 ∫ d b - 1 8 . 1 4 ∫ cos ⁡ b d b

= b 8 - 1 32 sin ⁡ b + C

Beleza?

Agora vamos voltar para a variável original!

b = 4 a = 4 u → u = arcsin ⁡ x

Aí nossa integral

arcsin ⁡ x 8 - 1 32 sin ⁡ 4 a + C = arcsin ⁡ x 8 - 1 32 sin ⁡ ( 4 arcsin ⁡ x ) + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

arcsin ⁡ x 8 - 1 32 sin ⁡ ( 4 arcsin ⁡ x ) + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x