Calcule as integrais indefinidas abaixo

45 .   ∫ e x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ e x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar chamando a = x , assim d a = 1 2 x   d x = 1 2 a d x

Aí nossa integral fica assim

∫ e x d x = ∫ e a . 2 a d a

Beleza?

Agora é só integrar! Vamos resolver por partes! Lembrando que a técnica é

∫ u   d v = u v - v ∫ d u

E a escolha do u é pelo LIATE:

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

Assim temos

u = 2 a ,   d u = 2 d a

d v = e a d a ,   v = e a

Aí aplicando na fórmula

= 2 a e a - 2 ∫ e a d a

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Integrando o lado direito temos

= 2 a e a - 2 e a + C

Passo 3

Passo 4

Agora vamos voltar para a variável original!

a = x

Aí nossa integral

2 a e a - 2 e a + C = 2 x e x - 2 e x + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

2 x e x - 2 e x + C

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