Calcule as integrais indefinidas abaixo

47 .   ∫ d x 5 - 2 x + x 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ d x 5 - 2 x + x 2

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Antes de mais nada, vamos reescrever esse denominador para ficar uma soma de quadrados:

5 - 2 x + x 2 = 4 + ( 1 - 2 x + x 2 ) = x - 1 2 + 4

Vamos começar chamando u = x - 1 , assim d u = d x

Aí nossa integral fica assim

∫ 1 5 - 2 x + x 2 d x = ∫ d u u 2 + 4

Beleza?

Agora sim vamos usar substituição trigonométrica! Chamando u = 2 tan ⁡ v ,   d u = 2 sec 2 ⁡ v d v nosso integrando fica

∫ 2 sec 2 ⁡ v d v   4 sec 2 ⁡ v = ∫ sec ⁡ v d v

Agora é só integrar!

= ln ⁡ tan ⁡ v + sec ⁡ v + C

tranquilo?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = 2 tan ⁡ v ,   u = x - 1

E daí

tan ⁡ v = x - 1 2 = c a t .   o p c a t .   a d j

h i p = x - 1 2 + 4

e aí

sec ⁡ v = x - 1 2 + 4 2

Aí nossa integral

ln ⁡ tan ⁡ v + sec ⁡ v + C = ln ⁡ x - 1 2 + x - 1 2 + 4 2 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

ln ⁡ x - 1 2 + x - 1 2 + 4 2 + C

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