Calcule as integrais indefinidas abaixo

68 .   ∫ 1 - x 1 + x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 1 - x 1 + x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo 1 - x 1 + x =   1 - x 1 + x × ( 1 - x ) ( 1 - x ) e usar a identidade 1 + x 1 - x = 1 - x 2

∫ 1 - x 1 + x d x = ∫ 1 - x 1 + x × ( 1 - x ) ( 1 - x ) d x = ∫ 1 - x 1 - x 2 d x

= ∫ 1 1 - x 2 d x - ∫ x 1 - x 2 d x

Beleza?

Agora é só integrar! A integral mais à esquerda é a do arco seno, direto assim! A outra vamos fazer por substituição simples! Chamando u = 1 - x 2 , d u 2 = - x   d x

Aí temos

= arcsin ⁡ x + 1 2 ∫ u - 1 2 d u

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Só integrar! Bora!

= arcsin ⁡ x + u + C

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = 1 - x 2

Aí nossa integral

arcsin ⁡ x + u + C = arcsin ⁡ x + 1 - x 2 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

arcsin ⁡ x + 1 - x 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x