Calcule as integrais indefinidas abaixo

28 .   ∫ e x cos ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ e x cos ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos o produto de duas funções bem distintas (e que uma parte não é a derivada da outra) vamos usar a técnica de integração por partes

Nessa técnica devemos escolher no integrando quem é u e quem é d v , de forma que

∫ u   d v = u v - v ∫ d u

Beleza?

E como escolher nosso u ? Pela nossa regrinha do LIATE:

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

O resto é o d v ! Escolhendo u e d v , vamos achar d u e v , e jogar na fórmula! É pra sair uma integral mais simpática!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando a regra do LIATE no integrando

∫ e x cos ⁡ x d x

u = cos ⁡ x ,   d u = - sin ⁡ x d x

d v = e x d x ,   v = e x

Beleza?

Agora é só jogar na fórmula da integração por partes!

= e x cos ⁡ x + ∫ e x sin ⁡ x d x  

tranquilo? Agora vamos usar novamente a técnica por partes pra integrar do lado direito, mas agora usando u = sin ⁡ x ,   d v = e x d x

u = sin ⁡ x ,   d u = cos ⁡ x d x

d v = e x d x ,   v = e x

Na fórmula

= e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x - ∫ e x cos ⁡ x d x

Você percebe que encontramos novamente a integral ∫ e x cos ⁡ x d x ?

Passo 3

Então vamos juntar com a integral do lado esquerdo e teremos duas!

2 ∫ e x cos ⁡ x d x = e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x

E podemos isolar a integral e assim teremos nosso resultado

∫ e x cos ⁡ x d x = 1 2 e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x + C

E não esquece do + C !

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

1 2 e x cos ⁡ x + e x sin ⁡ x + C

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