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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 65

Calcule as integrais indefinidas abaixo

65 .   ∫ cos 6 ⁡ 3 x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ cos 6 ⁡ 3 x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo cos 6 ⁡ 3 x = cos 2 ⁡ 3 x 3 e usar a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ 3 x = 1 + cos ⁡ 6 x 2 :

∫ cos 2 ⁡ 3 x 2 d x = 1 8 ∫ 1 + cos ⁡ 6 x 3 d x

Beleza? E agora vamos relembrar do produto notável cúbico

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Com a = 1 e b = cos ⁡ 6 x

= 1 8 ∫ 1 + 3 cos ⁡ 6 x + 3 cos 2 ⁡ 6 x + cos 3 ⁡ 6 x d x

Aí nossa integral fica assim

1 8 ∫ d x + 3 ∫ cos ⁡ 6 x d x + 3 ∫ cos 2 ⁡ 6 x ⏝ = 1 + cos ⁡ 12 x 2 d x + ∫ cos 3 ⁡ 6 x ⏝ = cos ⁡ 6 x . 1 - sin 2 ⁡ 6 x d x

Aí temos

1 8 ∫ d x + 3 ∫ cos ⁡ 6 x d x + 3 2 ∫ d x + ∫ cos ⁡ 12 x d x + ∫ 1 - sin 2 ⁡ 6 x cos ⁡ 6 x d x

Beleza?

Agora é só integrar! Tanto a integral com cos ⁡ 6 x   quanto a com cos ⁡ 12 x é por substituição simples u = 6 x e u = 12 x respectivamente. A última integral também é por substituição simples, mas com u = sin ⁡ 6 x → d u / 6 = cos ⁡ 6 x d x

Agora é #partiu integrar!

1 8 x + 3 6 sin ⁡ 6 x + 3 2 x + 3 2   . 1 12 sin ⁡ 12 x + 1 6 ∫ 1 - u 2 d u

Integrando e simplificando

1 8 5 2 x + 1 2 sin ⁡ 6 x + 1 8 sin ⁡ 12 x + 1 6 u - 1 18 u 3 + C

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = sin ⁡ 6 x

Aí nossa integral

1 8 5 2 x + 1 2 sin ⁡ 6 x + 1 8 sin ⁡ 12 x + 1 6 u - 1 18 u 3 + C

1 8 5 2 x + 1 2 sin ⁡ 6 x + 1 8 sin ⁡ 12 x + 1 6 sin ⁡ 6 x - 1 18 sin 3 ⁡ 6 x + C

1 8 5 2 x + 2 3 sin ⁡ 6 x + 1 8 sin ⁡ 12 x - 1 18 sin 3 ⁡ 6 x + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

1 8 5 2 x + 2 3 sin ⁡ 6 x + 1 8 sin ⁡ 12 x - 1 18 sin 3 ⁡ 6 x + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x