Calcule as integrais indefinidas abaixo

66 .   ∫ cos 2 ⁡ x sin 6 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ cos 2 ⁡ x sin 6 ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo cos 2 ⁡ x sin 6 ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x 2 . 1 sin 2 ⁡ x . 1 sin 2 ⁡ x e usar a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x :

∫ cos ⁡ x sin ⁡ x 2 . 1 sin 2 ⁡ x . 1 sin 2 ⁡ x d x =

Beleza? E agora chamando u = cos ⁡ x sin ⁡ x   , assim

d u = - sin ⁡ x sin ⁡ x - cos ⁡ x cos ⁡ x sin 2 ⁡ x d x = - 1 sin 2 ⁡ x d x

E também

1 sin 2 ⁡ x = sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x = 1 + u 2

Aí nossa integral fica assim

∫ cos ⁡ x sin ⁡ x 2 . 1 sin 2 ⁡ x . 1 sin 2 ⁡ x d x = - ∫ u 2 1 + u 2 d u = - ∫ u 2 d u - ∫ u 4 d u

Beleza?

Agora é só integrar!

= - u 3 3 - u 5 5 + C

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = cos ⁡ x sin ⁡ x  

Aí nossa integral

- u 3 3 - u 5 5 + C = - 1 3 cos ⁡ x sin ⁡ x   3 - 1 5 cos ⁡ x sin ⁡ x   5 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

- 1 3 cos ⁡ x sin ⁡ x   3 - 1 5 cos ⁡ x sin ⁡ x   5 + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x