UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.4 – Questão 2e
Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral indefinida:
A da secante até tem uma coisa parecida na tabela, mas a outra não! E agora?
Quando olharmos para uma integral e não vermos uma coisa nem parecida com o que temos na tabela de integrais, precisamos aplicar as técnicas de integração! E começamos pela substituição simples!
A ideia da integração por substituição simples é essa aqui: a gente identificar no integrando duas funções: uma função e a outra sua derivada
E aí tentar reescrever a integral em termos de e ! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral é a seguinte:
Separando em duas, vamos analisar a da secante primeiro. A integral da secante ao quadrado está na tabela, bem bonita:
E comparando com a que temos, podemos fazer uma pequena mudança de variáveis
E assim teremos a fórmula da tabela! Mas e a segunda integral?
Dá uma olhada de novo no integrando: temos um dentro do expoente e um por fora. Quando derivamos uma função polinomial, o expoente cai, não cai? Então é isso! Vamos chamar de
E derivar:
Dentro do integrando temos , então podemos rescrever para ter exatamente isso de um lado
Tranquilo?
Então são essas substituições que vamos fazer!
Passo 3
Agora vamos substituir no nosso integrando! Na primeira integral (na da secante) temos
Colocando na integral temos
agora partiu integrar!
E acabou por aqui? Não! Precisamos voltar para ! Agora é só resgatar a substituição que fizemos
E substituir no nosso resultado:
Beleza?
Passo 4
Agora vamos para a outra integral!
A substituição que tínhamos sugerido é
E aí derivando
Agora é só substituir:
Não se esqueça de voltar para !
Tranquilo até aqui? Agora é só juntar os resultados!
Passo 5
Nós tínhamos:
Dividimos em duas e no passo 3 encontramos a integral da secante e no passo 4 da exponencial:
Colocamos apenas uma constante no final, por ser uma integrar indefinida!
Agora sim! Terminamos!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?