Calcule as integrais indefinidas abaixo

60 .   ∫ sin 3 ⁡ x 2 cos 5 ⁡ x 2 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ sin 3 ⁡ x 2 cos 5 ⁡ x 2 d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar usando a identidade trigonométrica do seno

sin 2 ⁡ a = 1 - cos 2 ⁡ a

Aí temos

sin 3 ⁡ x 2 cos 5 ⁡ x 2 = sin ⁡ x 2 . 1 - cos 2 ⁡ x 2 . cos 5 ⁡ x 2

E chamando u = cos ⁡ x 2 , assim d u = - 1 2 sin ⁡ x 2   d x

Aí nossa integral fica assim

- 2 ∫ u 5 1 - u 2 d u = 2 ∫ - u 5 + u 7 d u

Beleza? nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Agora é só integrar!

= - u 6 3 + u 8 4 + C

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = cos ⁡ x 2

Aí nossa integral

- ( cos ⁡ x 2 ) 6 3 + ( cos ⁡ x 2 ) 8 4 + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

- ( cos ⁡ x 2 ) 6 3 + ( cos ⁡ x 2 ) 8 4 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x