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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 61

Calcule as integrais indefinidas abaixo

61 .   ∫ 1 sin 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 1 sin 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo nosso integrando usando a identidade trigonométrica fundamental

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Para simplificar:

1 sin 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x = sin 2 ⁡ x sin 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sin 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x = 1 sin 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x + 1 sin 5 ⁡ x cos ⁡ x

E aplicar novamente esse truque nas duas frações

sin 2 ⁡ x sin 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sin 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x + sin 2 ⁡ x sin 5 ⁡ x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sin 5 ⁡ x cos ⁡ x = 1 sin ⁡ x cos 3 ⁡ x + 2 sin 3 ⁡ x cos ⁡ x + cos ⁡ x sin 5 ⁡ x

Beleza? E agora vamos repetir esse processo até termos integrandos que conseguimos integrar usando u d u !

= sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sin ⁡ x cos 3 ⁡ x + 2   sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sin 3 ⁡ x cos ⁡ x + cos ⁡ x sin 5 ⁡ x

Repetindo esse processo mais duas vezes temos o seguinte

= 2 cos ⁡ x sin 3 ⁡ x + cos ⁡ x sin 5 ⁡ x + 3 sin ⁡ x cos ⁡ x + 3 cos ⁡ x sin ⁡ x

Beleza?

Agora é só integrar!

= ∫ 2 cos ⁡ x sin 3 ⁡ x + cos ⁡ x sin 5 ⁡ x + 3 sin ⁡ x cos ⁡ x + 3 cos ⁡ x sin ⁡ x   d x

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Usando u = sin ⁡ x ,   d u = cos ⁡ x d x nas integrais que tem denominador seno e v = cos ⁡ x ,   d v = - sin ⁡ x d x na que tem cosseno embaixo temos

2 ∫ d u u 3 + ∫ d u u 5 - 3 ∫ d v v + 3 ∫ d u u  

Integrando temos

- 1 u 2   - 1 4 u 4 - 3 ln ⁡ v + 3 ln ⁡ u + C

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = sin ⁡ x

v = cos ⁡ x

Aí nossa integral

- 1 u 2   - 1 4 u 4 - 3 ln ⁡ v + 3 ln ⁡ u + C

= - 1 ( sin ⁡ x ) 2   - 1 4 ( sin ⁡ x ) 4 - 3 ln ⁡ cos ⁡ x + 3 ln ⁡ sin ⁡ x + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

- 1 ( sin ⁡ x ) 2   - 1 4 ( sin ⁡ x ) 4 - 3 ln ⁡ cos ⁡ x + 3 ln ⁡ sin ⁡ x + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x